构造解析几何模型巧解最值（优质3篇）

构造是一种数学思想，是创造力和想象力的较高表现形式。本文以一类求最值问题为例，展示构造的巧妙之处。

【例1】考虑函数$f(\alpha, \beta) = (\cos\alpha - 5\cos\beta)^2 + (\sin\alpha + 5 - 2\sin\beta)^2$的最大值和最小值。

解：设$w = (\cos\alpha - 5\cos\beta)^2 + (\sin\alpha + 5 - 2\sin\beta)^2$，将$w$构造为动点$P(\cos\alpha, \sin\alpha+5)$与$Q(5\cos\beta, 2\sin\beta)$的距离。点$P$的轨迹为圆$\odot A: x^2 + (y-5)^2 = 1$，点$Q$的轨迹为椭圆$E: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$，因此$w$可构造为圆$\odot A$上的点与椭圆$E$上的点之间的距离。

设椭圆上任意一点$M(x, y)$，则$|MA| = x^2 + (y-5)^2$。由$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$可得$x^2 = 25(1-\frac{y^2}{4})$，其中$y\in[-2, 2]$。因此，$|MA| = 25(1-\frac{y^2}{4}) + (y-5)^2 = -21\frac{y^2}{4} - 10y + 50 = -214(y+20)^2 + 1150$。显然，当$y=-20$时，$|MA|$取最大值为$1150$，当$y=2$时，$|MA|$取最小值为$3$。

因此，$w_{\text{max}} = (1150+1)^2$，$w_{\text{min}} = (3-1)^2 = 4$。

【例2】已知圆$\odot O: x^2 + y^2 = 1$和定点$A(2, 1)$，点$P(a, b)$为圆$\odot O$外一点，向$\odot O$引切线$PQ$，切点为$Q$，且满足$|PQ|=|PA|$。

解：(1) 连接$OP$，因$Q$为切点，$PQ\perp OQ$，由勾股定理有$|PQ|^2 = |OP|^2 - |OQ|^2$。又$|PQ|=|PA|$，故$|PQ|^2 = |PA|^2$，即$(a^2 + b^2 - 1) - 1 = (a-2)^2 + (b-1)^2$。化简得实数$a, b$间的等量关系为：$2a + b - 3 = 0$。

(2) 由(1)知将动点$P$构造为直线$L: 2x + y - 3 = 0$上的动点，直线$L$与$\odot O$是相离关系。为使以$P$为圆心所作的$\odot P$与$\odot O$有公共点且半径取最小，只需$OP\perp L$且$\odot P$与$\odot O$外切。此时直线$OP$的方程为$y = -\frac{1}{2}x$，即$x - 2y = 0$。

由方程组$2x+y-3=0$，$x-2y=0$得$x = \frac{6}{5}$，$y = \frac{3}{5}$。即满足条件的圆$P$的圆心为$(\frac{6}{5}, \frac{3}{5})$。

此时$|OP| = |2 \times \frac{6}{5} + 0 - 3| = \frac{3}{5}$，因此最小半径$R_{\text{min}} = |OP| - 1 = \frac{3}{5} - 1$。

【例3】设圆满足： ① 截$y$轴所得弦长为$2$； ② 被$x$轴分成两段圆弧，其弧长的比为$3:1$。 在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线$L: x-2y=0$的距离最小的圆的方程。

解：设圆的圆心为$P(x, y)$，半径为$r$，则点$P$到$x$轴、$y$轴的距离分别为$|y|$、$|x|$。由题设，可得$2y^2 - x^2 = 1$。将动圆圆心$P$构造为双曲线$E: 2y^2 - x^2 = 1$上的动点，这样只需要求出双曲线$E$到直线$L$的距离的最小值。

设与直线$L$平行且与双曲线$E$相切的直线$L_1$的方程为$x - 2y + c = 0$，由$2y^2 - x^2 = 1$，$x - 2y + c = 0$消去$x$得$2y^2 - 4cy + 1 + c^2 = 0$，解得$\Delta = 16c^2 - 8(1+c^2) = 0$，得$c = \pm 1$。

当$c = 1$时，$x = 1$，$y = 1$，此时$r^2 = 2$； 当$c = -1$时，$x = -1$，$y = -1$，此时$r^2 = 2$。

所以，所求圆的方程为$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$或$(x+1)^2 + (y+1)^2 = 2$。

【例4】若函数$f(x) = k + 2 + x$存在区间$[a, b]$，使$f(x)$在$[a, b]$上值域是$[a, b]$，求$k$的最大值。

解：由题意可得$f(x)$在定义域内单调递增，因此有$a = k + 2 + a$，$b = k + 2 + b$。解得$a, b$是方程$x = k + 2 + x$，即方程$x + k + 2 = x$。

此时，最大值为$k + 2$。

托福阅读文章结构类型解析2

通常来讲，托福阅读文章的基本结构主要分为以下的四种：

1.总分或总分总式的结构。

此类结构特别适合出文章总结题。例如TPO17的第三篇文章SymbioticRelationships.这篇文章在开头就向大家介绍了大自然界存在的共生关系，并将共生关系分为三类。此文一共六段，二三段介绍和讨论寄生关系的特点，四段讨论共存关系的特点，五段介绍互利共生关系的特点，六段则概括三种共生关系在生物群落中扮演的角*。这篇的总结题就将几个概念分别列出，只要能找出结构，解答此题非常简单。

2.对比式结构。

此类结构适合出推理题。有两个形成对比的大概念，它们所具有的特点通常是相反对立的。

遇到推理题，问一个事物的特征，只需将与之形成对比的另一个事物的特征否定掉即可。

3.现象及解释类的结构

此类结构也可称为问题及解决方案结构，而此类结构重点关注的是解释部分。他先会提出一个问题，然后接下来的内容和细节就会围绕前面的问题展开。

4.时间顺序式结构

此类结构为时间为主线，把一个事物的发展过程向读者陈述，叙述事物的起源和发展历史。该类文章的重点并不是在第一段，它的重点在文章各处都是。

如果考生能够通过理解文章的结构来理解主题，不仅有助于完成最后的总结题，同时也可以更加准确的定位文章细节题的考点。

高考数学立体几何的解题技巧3

高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着多一点思考，少一点计算的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

知识整合

1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决平行与垂直的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。

2.判定两个平面平行的方法：

(1)根据定义--*两平面没有公共点;

(2)判定定理--*一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;

(3)*两平面同垂直于一条直线。

3.两个平面平行的主要*质：

⑴由定义知：两平行平面没有公共点。

⑵由定义推得：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

⑶两个平面平行的*质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

以上*质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为*质定理，但在解题过程中均可直接作为*质定理引用。